Cálculo Integral

Tercer Parical
INTEGRAL: Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada, asi como la suma es a la resta.

La Integración por Partes (Integration by parts) es un método que se utiliza cuando una integral no se puede resolver en un solo paso.

Para utiizar este método, tienes que tomar en cuenta que la función a integrar involucre alguno de los siguientes:

Logarithmic part (Parte logarítmica) -----------------> ln(x), ln(5x), etc.
Algebraic part (Parte algebráica) --------------------> x, 2x, x^2, etc. 
Trigonometric part (Parte trigonométrica) ---------> sin(3x), cos(5x^2), etc. 
Exponential part (Parte exponencial) ----------------> e^2x, e^(5x-1), etc.

Un método sencillo para saber qué variable tienes que utilizar como la "u", es aprenderse la palabra LATE. Así, si la función a integrar contiene una parte Logarítmica, ésta será la u, ya que es la primera en aparecer en el orden de arriba hacia abajo (o izquierda a derecha). Si en la función no existe parte Logarítmica, buscarás una parte Algebráica, ya que es la segunda en nuestra palabra de cuatro letras, y ésta será la u; así sucesivamente.

La fórmula para integrar por partes es:

Sudv = uv - Svdu

Está compuesta por cuatro elementos:
u, du, v, dv
Los primeros dos valores que tienes que conseguir son la u y la dv.

En la siguiente imágen se observa un ejemplo muy sencillo:

En el problema se puede observar que la u, en este caso, fue la letra x, ya que la función a integrar sólo contiene una parte Algebráica y una Exponencial, y debido a que la letra A está colocada antes que la E en nuestro sistema LATE, ésta es la que se utiliza como la u.

Ahora, para saber qué valor será nuestra dv, simplemente tomamos lo que resta de la función, que en este caso es e^x dx (En este problema se puede excluir el 2, simplemente lo dejamos afuera y al final, cuando terminemos de resolver, lo multiplicamos por el resultado).

Entonces ahora solo tenemos que conseguir la du y la v.

Para saber cuánto vale du, lo único que tenemos que hacer es derivar nuestra u, que en este caso es x, por lo tanto nuestra du es igual a 1 (es por eso que no se pone y, como sabemos, al derivar algo se agrega el término dx).

Y por ultimo, para conseguir nuestra v, solo tenemos que antiderivar (integrar) nuestra dv, que es e^x, por lo tanto su antiderivada es igual a e^x. 

Cuando terminemos de encontrar nuestros cuatro valores importantes, tendremos algo parecido a esto:

u= x                  dv= e^x dx

 du= dx               v= e^x 

El ultimo paso es sustituir los valores en nuestra ecuación  Sudv = uv - Svdu

Por lo tanto nuestra función es igual a:

2 S x e^x dx = 2[xe^x -S e^x dx] + C

Como podemos ver, aun tenemos una integral  dentro de nuestra función, pero esta SÍ se puede integrar en un solo paso; por lo tanto, nos quedaría:

=2[xe^x - e^x] + C

=2xe^x - 2e^x + C

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Otro tema que nos interesa son las integrales de funciones trigonométricas, elevadas una potencia par (es decir, elevadas al cuadrado, a la cuarta, a la sexta, octava, etc.)

Lo único que se necesita saber en este tema es, además de antiderivar funciones trigonométricas normales, las identidades de dichas funciones elevadas a números pares.
Estas identidades son las siguientes:

Un ejemplo muy sencillo sería la función:

S cos^2(x) dx

Aplicando las identidades antes mencionadas, la función anterior es equivalente a:

= S 1/2 [1 + cos(2x)] dx

Y, como si conocemos la antiderivada de Coseno, esta función la podemos integrar facilmente:

=1/2 S 1+ cos(2x) dx

=1/2 [x + 1/2sin(2x)] + C

= x/2 + 1/4sin(2x) + C